2. 性质
性质1(跷跷板关系)
我们有两个质点 \( A \) 和 \( B \) 。若质心位于 \( C \) ，则有
\[ {m}_{A} \times {AC} = {m}_{B} \times {BC} \tag{1} \]
且 \( {m}_{A} + {m}_{B} = {m}_{C} \) (2)
长度与质量成反比。
\[ \frac{AC}{BC} = \frac{{m}_{B}}{{m}_{A}} \tag{3} \]
\[ \frac{AC}{AB} = \frac{{m}_{B}}{{m}_{A} + {m}_{B}} \tag{4} \]
\[ \frac{BC}{AB} = \frac{{m}_{A}}{{m}_{A} + {m}_{B}} \tag{5} \]
\( {AB} \) 称为杠杆。杠杆平衡所在的点 \( C \) 称为支点。
若已知两个质量 \( {m}_{A} \) 和 \( {m}_{B} \) ，可计算 \( \frac{AC}{BC} \) ，即距离之比。因此质点法的关键在于找到两个质量 \( {m}_{A} \) 和 \( {m}_{B} \) 。
性质2. 若 \( {m}_{A} \) 和 \( {m}_{B} \) 的质心位于 \( P \) (质量为 \( \left. {m}_{p}\right) \) )，则 \( C \) (质量为 \( {m}_{C} \) )与 \( {m}_{p} \) 和 \( {m}_{D} \) 的质心即为 \( {m}_{A},{m}_{B} \) 的质心，且 \( {m}_{D} \) 位于 \( {PD} \) 的直线上。
性质3. 若 \( {m}_{A},{m}_{B} \) 和 \( {m}_{D} \) 的质心位于 \( C \) (质量为 \( {m}_{C} \) )，则 \( P \) (质量为 \( {m}_{p} \) )与直线 \( {AC} \) 和 \( {BD} \) 的交点即为 \( {m}_{B} \) 和 \( {m}_{D} \) 的质心。
切瓦线(Cevian line)
切瓦线通过指定其经过的顶点以及它与对边交点的位置来确定。
\( {AE} \) 和 \( {BD} \) 均为切瓦线。
我们在上述每个图中看到四对线段的组合:
\( {AM},{ME};{BM},{MD};{AD},{DC};{BE},{EC} \) .
可用质点法解决的典型问题:
(1)对于以下图形中的任何问题，若已知任意两对比例，即可用质点法求出另外两对比例。
(2)对于以下图形中的问题，可添加一条线后再应用质点法。
(3) 对于涉及同一顶点两条切瓦线(Cevian line)的问题，可每次移除一条切瓦线，再应用质点法(mass point method)。
(4) 对于涉及横截线(transversal)(下图中的EF)的问题，我们使用分裂质量技巧(splitting mass skill)。
该顶点(A)处的质量可分裂为 \( {m}_{A} = {m}_{{A}_{AB}} + {m}_{{A}_{AC}} \) 。
当我们对直线 \( {AB} \) 应用质点法时，我们使用 \( {m}_{{A}_{AB}} \) 和 \( {m}_{B} \) 。
当我们对直线 \( {AC} \) 应用质点法时，我们使用 \( {m}_{{A}_{AC}} \) 和 \( {m}_{C} \) 。
当我们对直线 \( {AD} \) 应用质点法时，我们使用 \( {m}_{A} \) 和 \( {m}_{D} \) 。
3. 示例
3.1. 质点法的直接应用
例1. (AMC) 在三角形 \( {ABC} \) 中，点 \( F \) 将边 \( {AC} \) 分成1:2的比。设 \( E \) 为边 \( {BC} \) 与 \( {AG} \) 的交点，其中 \( G \) 是 \( {BF} \) 的中点。则点 \( E \) 将边 \( {BC} \) 分成如下比例
(A) \( 1/4 \) (B) \( 1/3 \) (C) \( 2/5 \) (D) \( 4/{11} \) (E) \( 3/8 \)
解答:(B)。
方法1(官方解答):
作 \( {FH} \) 平行于直线 \( {AGE} \) (见图)。则 \( {BE} = {EH} \) ，因为 \( {BG} = {GF} \) 且一条线(GE)平行于三角形(HFB)的底边(HF)时，会按比例分割另外两条边。
将同样的推理应用于三角形 \( {AEC} \) ，其中直线 \( {FH} \) 平行于底边 \( {AE} \) ，我们得到 \( {HC} = {2EH} \) ，因为已知 \( {FC} = {2AF} \) 。因此 \( {EC} = {EH} + {HC} = \) \( {3EH} = {3BE} \) ，且 \( \mathrm{E} \) 将边 \( {BC} \) 分成 \( 1 : 3 \) 的比。
方法2(我们的解答):
步骤1:我们按图中所示标记各线段的长度。
步骤2:设各点的质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C} \) 、 \( {m}_{F} \) 和 \( {m}_{E} \) 。步骤3:给点 \( C \) 赋予质量1。注意:(1) 该数值可随机指定，但最好满足(a)便于计算其他质量，(b)计算过程中不会出现分数。
其他质量，且(b)计算中不会出现分数。
(2) 你只能指定一个质量点的值，其余质量将依据杠杆公式计算得出。
步骤4:建立方程并求解。
观察线段 \( {AC} \) 。
\( {m}_{C} \times 2 = {m}_{A} \times 1\; \Rightarrow \;{m}_{A} = 2. \)
\[ {m}_{F} = {m}_{A} + {m}_{C} = 2 + 1 = 3\text{.} \]
现在我们来看线段 \( {BF} \) 。
\( {m}_{B} \times 1 = {m}_{F} \times 1\; \Rightarrow \;{m}_{B} = 3 \) .
于是 \( \frac{BE}{EC} = \frac{1}{3} \) 。
例2 如图所示， \( \frac{AB}{BC} = \frac{DF}{FB} = 2 \) 。求 \( \frac{AF}{FE} \) 。
(A) \( \frac{7}{2} \) (B) \( \frac{3}{1} \) (C) \( \frac{9}{4} \) (D) \( \frac{2}{7} \) (E) \( \frac{4}{9} \)
解:(A)。
我们按图所示标注各线段长度。
给点 \( A \) 赋予质量1。
\( {m}_{A} \times 2 = {m}_{C} \times 1\; \Rightarrow \;{m}_{C} = 2 \) 且
\[ {m}_{B} = {m}_{A} + {m}_{C} = 1 + 2 = 3\text{.} \]
同理， \( {m}_{D} \times 2 = {m}_{B} \times 3 \Rightarrow {m}_{D} = \frac{3}{2} \) 。
①③
\( {m}_{E} = {m}_{D} + {m}_{C} = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2} \) .
现在我们来看线段 \( {AE} \) :
\[ {m}_{A} \times {AF} = {m}_{E} \times {FE} \Rightarrow \;\frac{AF}{FE} = \frac{\frac{7}{2}}{1} = \frac{7}{2}. \]
例3 (2004 AMC 10B 第20题) 在 \( {\Delta ABC} \) 中，点 \( D \) 和 \( E \) 分别位于 \( {BC} \) 和 \( {AC} \) 上。若 \( {AD} \) 与 \( {BE} \) 交于 \( T \) ，使得
那个 \( \frac{AT}{DT} = 3 \) 和 \( \frac{BT}{ET} = 4 \) ， \( \frac{CD}{BD} \) 是什么？
(A) \( \frac{1}{8} \) (B) \( \frac{2}{9} \) (C) \( \frac{3}{10} \) (D) \( \frac{4}{11} \) (E) \( \frac{5}{12} \)
解答:(D)。
我们采用与官方解答不同的方法来解决此题。
我们按图示给各线段长度做标记。
设各点质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C},{m}_{D},{m}_{E} \) 和 \( {m}_{T} \) 。
我们给点 \( A \) 赋予质量5。
\[ {m}_{A} \times 3 = {m}_{D} \times 1 \]
于是 \( {m}_{D} = {15} \) 和 \( {m}_{T} = {m}_{A} + {m}_{D} = 5 + {15} = {20} \) 。
现在我们确定 \( {m}_{B} \) 和 \( {m}_{E} \) 。
\[ {m}_{B} \times 4 = {m}_{E} \times 1 \tag{1} \]
\[ {m}_{B} + {m}_{E} = {20} \tag{2} \]
\( {m}_{B} + 4{m}_{B} = {20} \Rightarrow 5{m}_{B} = {20}\; \Rightarrow \;{m}_{B} = 4 \)
以及 \( {m}_{E} = {20} - 4 = {16} \) 。
接着我们确定 \( {m}_{C} \)
\( {m}_{C} + {m}_{A} = {16} \Rightarrow \;{m}_{C} + 5 = {16} \Rightarrow \;{m}_{C} = {11} \) .
最后一步求出答案:
\( 4 \times {BD} = {11} \times {CD}\; \Rightarrow \;\frac{CD}{BD} = \frac{4}{11}. \)
例4.(AMC)在三角形 \( {ABC} \) 中，作直线 \( {CE} \) 和 \( {AD} \) ，使得 \( \frac{CD}{DB} = \frac{3}{1} \) 且 \( \frac{AE}{EB} = \frac{3}{2} \) 。设 \( r = \frac{CP}{PE} \) ，其中 \( P \) 为 \( {CE} \) 与 \( {AD} \) 的交点。则 \( r \) 等于:
(A) 3 (B) \( \frac{3}{2} \) (C) 4 (D) 5 (E) \( \frac{5}{2} \)
解答:(D)。
方法一(我们的解法):
我们按图示标注各线段的长度。
我们给点 \( B \) 赋予质量3。
现在我们来看线段 \( {BC} \) :
\( {m}_{B} \times 1 = {m}_{C} \times 3\; \Rightarrow \;{m}_{C} = 1 \) .
现在我们来看线段 \( {AB} \) :
\[ {m}_{A} \times 3 = {m}_{B} \times 2 \Rightarrow \;{m}_{A} = 2\text{.} \]
\[ {m}_{E} = {m}_{A} + {m}_{B} = 3 + 2 = 5\text{.} \]
\[ \frac{CP}{PE} = \frac{5}{1} = 5 \]
方法二(官方解法):
作 \( {DR}//{AB} \) 。
\( \frac{CR}{RE} = \frac{CD}{DB} = \frac{3}{1};\frac{RD}{EB} = \frac{CD}{CB} = \frac{3}{4}; \)
\( \therefore {CR} = {3RE} = {3RP} + {3PE} \) 和 \( {RD} = \left( {3/4}\right) {EB} \) ，
\( \therefore {CP} = {CR} + {RP} = {4RP} + {3PE} \) .
因为 \( \bigtriangleup {RDP} \sim \bigtriangleup {EAP},\frac{RP}{RE} = \frac{RD}{AE},\therefore {RD} = \frac{{RP} \times {AE}}{PE} \) 。
但 \( {AE} = \frac{3}{2}{EB}.\therefore {RD} = \frac{RP}{PE} \times \frac{3}{2}{EB} \)
\( \therefore \frac{3}{4}{EB} = \frac{3}{2}{EB} \times \frac{RP}{PE},{RP} = \frac{1}{2}{PE} \)
\( {CP} = 4 \cdot \frac{1}{2}{PE} + {3PE} = {5PE}\therefore \frac{CP}{PE} = 5 \) .
例5.(AMC)在三角形 \( {ABC} \) 的边 \( {AB} \) 上取点 \( E \) ，使得 \( {AE} : {EB} = 1 : 3 \) ；在边 \( {BC} \) 上取点 \( D \) ，使得 \( {CD} : {DB} = 1 : 2 \) 。 \( {AD} \) 与 \( {CE} \) 的交点为 \( F \) 。则
\( \frac{EF}{FC} + \frac{AF}{FD} \) 为
(A) \( \frac{4}{5} \) (B) \( \frac{5}{4} \) (C) \( \frac{3}{2} \) (D)2(E) \( \frac{5}{2} \)
答案:(C)。
方法一(质点法):
我们按图示标注各线段的长度。
②
我们给点 \( B \) 赋予质量1。
现在我们来看线段 \( {BC} \) :
\( {m}_{B} \times 2 = {m}_{C} \times 1\; \Rightarrow \;{m}_{C} = 2 \) 和
\[ {m}_{D} = {m}_{B} + {m}_{C} = 1 + 2 = 3\text{.} \]
现在我们来看线段 \( {AB} \) :
\[ {m}_{A} \times 1 = {m}_{B} \times 3 \Rightarrow \;{m}_{A} = 3. \]
\[ {m}_{E} = {m}_{A} + {m}_{B} = 3 + 1 = 4\text{.} \]
现在我们来看线段 \( {CE} \) :
\( {m}_{E} \times {EF} = {m}_{C} \times {FC} \Rightarrow \;\frac{EF}{FC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \)
现在我们来看线段 \( {AD} \) :
\( {m}_{A} \times {AF} = {m}_{D} \times {FD}\; \Rightarrow \;\frac{AF}{FD} = \frac{3}{3} = 1 \)
因此 \( \left( {{EF}/{FC}}\right) + \left( {{AF}/{FD}}\right) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \) 。
方法二:(官方解法):
作 \( {DGH}//{AB}.\therefore {DG} : {3a} = b : {3b};{DG} = a = {EA}.\therefore {EF} = {FG} \) 和 \( {AF} = {FD} \) ，于是 \( {AF}/{FD} = 1 \) 。同时 \( {DH} : {4a} = b : {3b},{DH} = {4a}/3 \) 和
\( {GH} = {DH} - {DG} = a/3;\therefore {GC} = \left( {1/3}\right) {EC} \) 和 \( {EG} = \)
\( \left( {2/3}\right) {EC} \) ，且因为 \( {EF} = {FG},{FC} = \left( {2/3}\right) {EC}.\therefore \)
\( {EF}/{FC} = 1/2.\therefore \left( {{EF}/{FC}}\right) + \left( {{AF}/{FD}}\right) = 1/2 + 1 = 3/2 \) .
3.2 通过移除一条线段解决的问题
例6. 若 \( {AB} : {BC} = 1 : 4,{AG} : {GH} = \) \( 3 : 5,{AF} : {DF} = 5 : 4 \) 且 \( {CH} : {DH} : {DE} = x : y : z \) 如图所示，求 \( x + y + z \) 的正整数值
。
(A) 20 (B) 30 (C) 30 (D) 50 (E) 60。
解答:(E)。
我们将原图拆分为两个图形。
第一个图形通过移除线段 \( {AH} \) 得到。
我们给点 \( D \) 赋予质量5。
我们观察边 \( {AD} \) 。
\( {m}_{D} \times 4 = {m}_{A} \times 5\; \Rightarrow \;{m}_{A} = 4 \) .
同样地，我们观察边 \( {AC} \) 。
\( {m}_{A} \times 1 = {m}_{C} \times 4 \Rightarrow \;{m}_{C} = 1 \) .
现在我们观察线段 \( {CE} \) :
\[ {m}_{D} = {m}_{E} + {m}_{C} \Rightarrow \;{m}_{E} = 4 \]
\[ \frac{ED}{DC} = \frac{1}{4}\text{.} \]
第二个图形通过移除线段 \( {AD} \) 并保留线段 \( {AH} \) 得到。
我们给点 \( H \) 赋予质量12。
我们观察边 \( {AH} \) 。
\[ {m}_{H} \times 5 = {m}_{A} \times 3\; \Rightarrow \;{m}_{A} = {20}. \]
同样地，我们观察边 \( {AC} \) 。
\[ {m}_{A} \times 1 = {m}_{C} \times 4\; \Rightarrow \;{m}_{C} = 5\text{.} \]
现在我们观察线段 \( {CE} : {m}_{H} = {m}_{E} + {m}_{C} \)
\( \Rightarrow \;{m}_{E} = {12} - 5 = 7 \) .
\[ \frac{EH}{HC} = \frac{7}{5}\text{.} \]
设 \( {EC} = {60}.{EH} = \frac{5}{12}{EC} = \frac{5}{12} \times {60} = {25} \) 。
\[ {ED} = \frac{1}{4}{DC} = \frac{1}{5}{EC} = {12}. \]
\[ {DH} = {EH} - {ED} = {25} - {12} = {13} \]
\[ {HC} = \frac{7}{12}{EC} = {35}. \]
\[ {CH} : {DH} : {DE} = {35} : {13} : {12} = x : y : z. \]
\[ x + y + z = {35} + {13} + {12} = {60}. \]
例8. 如图所示， \( E \) 和 \( F \) 是三角形 \( {ABC} \) 的边 \( {BC} \) 上的点，使得 \( {BE} : {EF} : {FC} = 1 : 2 : 3 \) 。中线 \( {BD} \) 分别与 \( {AE} \) 和 \( {AF} \) 相交于 \( M \) 和 \( N \) ，并被
分割成长度为 \( x, y, z \) 。
求 \( x + y + z \) 的正整数值。
(A) 21 (C) 25 (D) 26 (E) 27
解答:(A)。
我们将原图形拆分为两个图形。
第一个图形通过移除线段 \( {AF} \) 得到。
我们知道 \( M \) 是 \( A, B \) 和 \( C \) 的质心(center of mass)。
因此 \( E \) 是 \( B \) 和 \( C \) 的质心。
我们给点 \( C \) 赋予质量1。
\[ {m}_{B} \times 1 = {m}_{C} \times 5\; \Rightarrow \;{m}_{B} = 5\text{.} \]
由于 \( {AD} = {CD},{m}_{A} = 1 \) 。
\[ \frac{BM}{DM} = \frac{2}{5}\; \Rightarrow \;\frac{BM}{BD} = \frac{2}{7}\; \Rightarrow \]
\[ \frac{x}{x + y + z} = \frac{2}{7} = \frac{6}{21} \tag{1} \]
第二个图形通过移除线段 \( {AE} \) 得到。
我们知道 \( N \) 是 \( A, B \) 和 \( C \) 的质心。
因此 \( D \) 是 \( A \) 和 \( C \) 的质心，且 \( F \) 是 \( B \) 和 \( C \) 的质心。
若给点 \( C \) 赋予质量1，我们得到
\[ {m}_{B} = 1,{m}_{A} = 1\text{, and}{m}_{D} = 2\text{.} \]
\[ \frac{ND}{NB} = \frac{1}{2}\; \Rightarrow \;\frac{ND}{BD} = \frac{1}{3}\; \Rightarrow \]
\[ \frac{z}{x + y + z} = \frac{1}{3} = \frac{7}{21} \tag{2} \]
于是我们知道 \( \frac{y}{x + y + z} = 1 - \frac{2}{7} - \frac{1}{3} = \frac{8}{21} \) 。
\[ x : y : z = 6 : 8 : 7\text{.} \]
\[ x + y + z = 6 + 8 + 7 = {21}. \]
3.3 质量拆分问题
例9.(ARML 1992 I8)。在 \( \bigtriangleup {ABC} \) 中，点 \( D \) 和 \( E \) 分别位于 \( {AB} \) 和 \( {AC} \) 上。 \( \angle A \) 的角平分线与
\( {DE} \) 交于 \( F \) ，与 \( {BC} \) 交于 \( T \) 。若 \( {AD} = 1,{DB} = 3,{AE} = 2 \) ，且 \( {EC} = 4 \) ，求比值 \( {AF} : {AT} \) 。
(A) \( \frac{3}{10} \) (B) \( \frac{5}{18} \) (C) \( \frac{10}{3} \) (D) \( \frac{18}{5} \) (E) \( \frac{3}{20} \)
解答:(B)。
根据角平分线定理(Angle bisector theorem)，我们有 \( \frac{CT}{BT} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) 。
(1) 我们按图示标记各线段的长度。
设各点的质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C} \) 和 \( {m}_{T} \) ，我们需要求 \( {m}_{A} \) 和 \( {m}_{T} \) 。
(2) 我们给点 \( C \) 赋予质量4。
我们观察边 \( {BC} \) 。
\[ {m}_{C} \times 3 = {m}_{B} \times 2\; \Rightarrow \;{m}_{C} = 6\text{.} \]
\[ {m}_{T} = {m}_{C} + {m}_{B} = 4 + 6 = {10}\text{.} \]
现在通过拆分质量来确定 \( {m}_{A} \) 。
我们观察边 \( {AC} \) 。 \( {AC} \) 的质心位于 \( E \) 上。
\[ {m}_{{A}_{AC}} \times 2 = {m}_{C} \times 4\; \Rightarrow \;{m}_{{A}_{AC}} = 8. \]
我们观察边 \( {AB} \) 。 \( {AB} \) 的质心位于 \( D \) 上。
\( {m}_{{A}_{AB}} \times 1 = {m}_{B} \times 3\; \Rightarrow \;{m}_{{A}_{AB}} = {18} \) .
因此 \( {m}_{A} = {m}_{{A}_{AB}} + {m}_{{A}_{AC}} = {18} + 8 = {26} \) 。
最后一步是求出答案:
\[ {m}_{A} \times {AF} = {m}_{T} \times {FT} \Rightarrow \;\frac{FT}{AF} = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}\; \Rightarrow \;\frac{{AT} - {AF}}{AF} = \frac{13}{5} \]
\[ \Rightarrow \;\frac{AT}{AF} - 1 = \frac{13}{5} \Rightarrow \;\frac{AT}{AF} = \frac{18}{5} \Rightarrow \;\frac{AF}{AT} = \frac{5}{18}. \]
例10. 在三角形 \( {ABC},{ED} \) 中，连接边 \( {AB} \) 和 \( {BC} \) 上的点 \( E \) 和 \( D \) ，形成一条截线。 \( {BE} : {EA} = 3 \) :
\( 4.{BD} : {DC} = 5 : 2.{BG} \) 以3:7的比例分割 \( {AC} \) ，并在点 \( F \) 处与 \( {ED} \) 相交。求比例 \( {BF} : {FG} \) 。
(A) \( \frac{32}{33} \) (B) \( \frac{75}{79} \) (C) \( \frac{11}{30} \) (D) \( \frac{139}{140} \) (E) \( \frac{33}{32} \)
解答:(B)。
(1) 我们按图示标记各线段的长度。
设各点的质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C} \) 和 \( {m}_{G} \) ，我们需要求 \( {m}_{B} \) 和 \( {m}_{G} \) 。
(2) 我们给点 \( A \) 赋予105的质量。
我们看向 \( {BC} \) 这一侧。
\( {m}_{C} \times 7 = {m}_{A} \times 3\; \Rightarrow \;{m}_{C} = {45} \) 和 \( {m}_{G} = {m}_{B} + {m}_{C} = {105} + {45} = {150}. \)
现在我们通过分割质量来确定 \( {m}_{B} \) 。
我们观察 \( {AB} \) 这一侧。 \( {AB} \) 的质心位于 \( E \) 上。
\[ {m}_{{B}_{AB}} \times 3 = {m}_{A} \times 4\; \Rightarrow \;{m}_{{B}_{AB}} = {140} \]
我们观察 \( {BC} \) 这一侧。 \( {BC} \) 的质心位于 \( D \) 上。
\( {m}_{{B}_{BC}} \times 5 = {m}_{C} \times 2 \)
因此 \( {m}_{B} = {m}_{{B}_{AB}} + {m}_{{B}_{BC}} = {140} + {18} = {158} \)
最后一步是找到答案:
\[ {m}_{G} \times {FG} = {m}_{B} \times {BF} \Rightarrow \]
\[ \frac{BF}{FG} = \frac{150}{158} = = \frac{75}{79}. \]
例11.(AMC)在附图所示的三角形 \( {ABC} \) 中， \( M \) 是边 \( {BC},{AB} = {12} \) 的中点，且 \( {AC} = {16} \) 。点 \( E \) 和 \( F \) 分别取在 \( {AC} \) 和 \( {AB} \) 上，直线 \( {EF} \) 与 \( {AM} \) 交于 \( \mathrm{G} \) 。若 \( {AE} = {2AF} \) ，则 \( {EG}/{GF} \) 等于(A) \( 3/2 \) (B) \( 4/3 \) (C) \( 5/4 \) (D) \( 6/5 \) (E)信息不足，无法求解
答案:(A)。
官方解答采用了三种方法来解决该问题:第一种采用三角法，第二种采用面积法，第三种采用梅涅劳斯定理(Menelaus's theorem)。
我们将使用质点法(mass point method)来解决这个问题。
设 \( {AF} = n \) 。我们按图中所示为各线段长度标注。
令每个点处的质量为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C} \) ，
\( {m}_{E} \) 、 \( {m}_{M} \) 和 \( {m}_{M} \) ，分别地。我们需要求出
\( {m}_{F} \) 和 \( {m}_{E} \) 。
我们给点 \( B \) 赋予质量1。
由于 \( {BM} = {CM},{m}_{C} = 1 \) 。
现在我们通过分配质量来确定 \( {m}_{A} \) 。
我们观察边 \( {AB} \) 。
\( {m}_{B} \times \left( {{12} - n}\right) = {m}_{{A}_{AB}} \times n\; \Rightarrow \;{m}_{{A}_{AB}} = \frac{{12} - n}{n}. \)
我们观察边 \( {AC}.{m}_{{A}_{AC}} \times {2n} = {m}_{C} \times \left( {{16} - n}\right) \Rightarrow {m}_{{A}_{AC}} = \frac{{16} - {2n}}{2n} = \frac{8 - n}{n} \) 。
\[ {m}_{E} = {m}_{{A}_{AC}} + {m}_{C} = \frac{8 - n}{n} + 1 = \frac{8}{n}. \]
\[ {m}_{F} = {m}_{{A}_{AB}} + {m}_{B} = \frac{{12} - n}{n} + 1 = \frac{12}{n}. \]
最后一步是求出答案:
\[ {m}_{E} \times {EG} = {m}_{F} \times {GF} \Rightarrow \;\frac{EG}{GF} = \frac{{m}_{F}}{{m}_{G}} = \frac{\frac{12}{n}}{\frac{8}{n}} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}. \]
3.4. 长度与面积问题
例12.(AMC)在三角形 \( {ABC},{BD} \) 中， \( {CF} \) 是一条中线。 \( {BD} \) 与 \( E \) 交于 \( \overline{BE} = {ED} \) ，使得 \( F \) 。点 \( {AB} \) 位于 \( \overline{BF} = 5,\overline{BA} \) 上。那么，若
(A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 20 (E) 以上都不是 解答:C。
我们采用与官方解答不同的方法来解决此题。
我们按图所示标注各线段长度。
我们给点 \( C \) 赋予质量1。
\[ {m}_{A} \times 1 = {m}_{C} \times 1\; \Rightarrow \;{m}_{A} = 1\text{and} \]
\[ {m}_{D} = {m}_{A} + {m}_{C} = 1 + 1 = 2\text{.} \]
由于 \( {BE} = {DE},{m}_{B} \times 1 = {m}_{D} \times 1 \Rightarrow {m}_{B} = 2 \) 。
现在我们观察线段 \( {AB} \) :
\[ {m}_{A} \times {AF} = {m}_{B} \times 5\; \Rightarrow \;{AF} = \frac{2 \times 5}{1} = {10}\text{.} \]
\[ \text{So}{AB} = {BF} + {AF} = 5 + {10} = {15}\text{.} \]
例13. 在三角形 \( E \) 的边 \( {AC} \) 上选取点 \( {ABC} \) ，使得 \( {AE} \) \( : {EC} = 3 : 4 \) ；在边 \( D \) 上选取点 \( {BC} \) ，使得 \( {BD} : {DC} = 3 \) :
- \( {AD} \) 与 \( {BE} \) 的交点为 \( F \) 。 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的面积为1。求 \( \bigtriangleup {BDF} \) 的面积。
- \( {AD} \) 与 \( {BE} \) 的交点为 \( F \) 。 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的面积为 36。求 \( \bigtriangleup {ABF} \) 的面积。
(A) \( \frac{3}{5} \) (B) \( \frac{34}{7} \) (C) \( \frac{12}{35} \) (D) \( \frac{4}{15} \) (E) \( \frac{4}{9} \)
解答:(D)。
方法一:
我们按图示给各线段长度标号。
设各点质量分别为 \( {m}_{A} \) 、
\( {m}_{B},{m}_{C} \) 和 \( {m}_{D} \) 。
给点 \( C \) 赋予质量6。
得到 \( {m}_{A} = 8 \) 。
\( {m}_{B} = 4,{m}_{D} = 4 + 6 = {10} \) .
于是 \( \frac{{S}_{\Delta BDF}}{{S}_{\Delta ABF}} = \frac{FD}{AF} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \) 。
\( {S}_{\Delta BDF} = \frac{4}{5}{S}_{\Delta ABF} = \frac{4}{5}\left( {{S}_{\Delta ABD} - {S}_{\Delta BDF}}\right) = \frac{4}{5}\left( {\frac{3}{5}{S}_{\Delta ABC} - {S}_{\Delta BDF}}\right) = \frac{12}{25} - \frac{4}{5}{S}_{\Delta BDF} \Rightarrow \)
\( {S}_{\Delta BDF} + \frac{4}{5}{S}_{\Delta BDF} = \frac{12}{25} \Rightarrow \;\frac{9}{5}{S}_{\Delta BDF} = \frac{12}{25} \Rightarrow \;{S}_{\Delta BDF} = \frac{4}{15}. \)
方法二:
作 \( {EN}//{AD} \) ， \( {EN} \) 交 \( {BC} \) 于 \( N \) 。
\( \frac{AE}{EC} = \frac{DN}{NC} = \frac{3}{4} \) 和 \( \frac{BD}{DC} = \frac{3}{2}. \)
所以 \( {NC} : {DN} : {BD} = 8 : 6 : {21} \) 。
因为 \( {S}_{\Delta BEC} = \frac{4}{7}{S}_{\Delta ABC} = \frac{4}{7},{S}_{\Delta BNE} = \frac{27}{35}{S}_{\Delta BEC} = \frac{{27} \cdot 4}{{35} \cdot 7} \) 。
因为 \( {DF}//{EN},{\Delta BDF} \sim {\Delta BNE},{S}_{\Delta BDM} = {\left( \frac{21}{27}\right) }^{2}{S}_{\Delta BNE} = \frac{{49} \cdot {27} \cdot 4}{{81} \cdot {35} \cdot 7} = \frac{4}{15} \) 。
例14. 在三角形 \( {ABC} \) 的边 \( {AC} \) 上取点 \( E \) ，使得 \( {AE} \) \( : {EC} = 3 : 4 \) ；在边 \( {BC} \) 上取点 \( D \) ，使得 \( {BD} : {DC} = 3 \) :
(A) 12 (B) \( \frac{34}{3} \) (C) \( \frac{35}{3} \) (D) \( \frac{15}{2} \) (E) 10
解答:(A)。
我们按图所示给各线段标上长度。
设各点的质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C} \) 和 \( {m}_{D} \) 。
我们给点 \( C \) 赋予质量 6。
得到 \( {m}_{A} = 8 \) 。
\( {m}_{B} = 4,{m}_{D} = 4 + 6 = {10} \) .
因此 \( \frac{{S}_{\Delta ABF}}{{S}_{\Delta BDF}} = \frac{AF}{FD} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \) 。
\[ {S}_{\Delta ABF} = \frac{5}{4}{S}_{\Delta BDF} = \frac{5}{4}\left( {{S}_{\Delta ABD} - {S}_{\Delta ABF}}\right) = \frac{5}{4}\left( {\frac{3}{5}{S}_{\Delta ABC} - {S}_{\Delta ABF}}\right) = \frac{3}{4} \times {36} - \frac{5}{4}{S}_{\Delta ABF} \Rightarrow \]
\[ {S}_{\Delta ABF} + \frac{5}{4}{S}_{\Delta ABF} = {27} \Rightarrow \;\frac{9}{4}{S}_{\Delta ABF} = {27} \Rightarrow \;{S}_{\Delta ABF} = {12}. \]
例15. 如图所示， \( \bigtriangleup {ABC} \) 被分成三个小三角形(面积分别为 5、8、10，如图示)和一个面积为 \( x \) 的四边形。求 \( x \) 。
(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 20 (E) 22
解答:(E)。
\[ \frac{{S}_{\Delta BCF}}{{S}_{\Delta DCF}} = \frac{BF}{DF} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}.\frac{{S}_{\Delta BEF}}{{S}_{\Delta BCF}} = \frac{EF}{CF} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}. \]
我们按图所示给各线段标上长度。
我们给点 \( B \) 赋予质量 4。
\[ {m}_{B} \times {BF} = {m}_{D} \times {DF} \Rightarrow \;{m}_{D} = 5\text{and} \]
\[ {m}_{F} = {m}_{D} + {m}_{B} = 5 + 4 = 9\text{.} \]
现在我们来看线段 \( {EC} \) :
\[ {m}_{E} \times 1 = {m}_{C} \times 2 \tag{1} \]
\[ {m}_{E} + {m}_{C} = 9 \tag{2} \]
联立(1)和(2)解得: \( {m}_{e} = 6 \) 。
于是我们知道 \( {m}_{E} = {m}_{A} + {m}_{B} \Rightarrow {m}_{A} = 2 \)
现在我们来看线段 \( {AB} \) :
\[ {m}_{B} \times {BE} = {m}_{A} \times {AE} \Rightarrow \;\frac{AE}{BE} = \frac{4}{2} = 2. \]
\[ \frac{{S}_{\bigtriangleup {CAE}}}{{S}_{\bigtriangleup {CBE}}} = \frac{AE}{BE} = \frac{4}{2} = 2 \Rightarrow {S}_{\bigtriangleup {CAE}} = 2{S}_{\bigtriangleup {CBE}} \Rightarrow x + 8 = 2\left( {5 + {10}}\right) \Rightarrow x = {30} - 8 = {22}. \]
例16.(ARML 1989 T4)。在 \( \bigtriangleup {ABC} \) 中，角平分线 \( {AD} \) 和 \( {BE} \) 交于 \( P \) 。若三角形的三边分别为 \( a = 3, b = 5, c = 7 \) ，其中 \( {BP} = x \) ，且 \( {PE} = y \) ，求比值 \( x : y \) ，其中 \( x \) 和 \( y \) 为互质的整数。
(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 2 (E) 7
解答:(D)。
由于我们要求 \( {BP} : {PE} \) ，需要求出 \( B \) 和 \( E \) 的质量。
根据角平分线定理，我们有
\[ \frac{CE}{AE} = \frac{3}{7}\text{, and}\frac{BD}{CD} = \frac{7}{5}\text{.} \]
然后按图示标注各线段长度。
设各点的质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C} \) 和 \( {m}_{E} \) 。我们需要求出 \( {m}_{B} \) 和 \( {m}_{E} \) 。
我们给点 \( B \) 赋予质量15。
我们来看边 \( {BC} \) 。
\[ {m}_{B} \times 7 = {m}_{C} \times 5\; \Rightarrow \;{m}_{C} = {21}\text{.} \]
现在确定 \( {m}_{A} \) 。
我们来看边 \( {AC} \) 。 \( {AC} \) 的质心位于 \( E \) 上。
\[ {m}_{C} \times 3 = {m}_{A} \times 7\; \Rightarrow \;{m}_{A} = 9 \]
\[ {m}_{E} = {m}_{A} + {m}_{C} = 9 + {21} = {30}\text{.} \]
最后一步求出答案:
\[ {m}_{B} \times {BP} = {m}_{E} \times {PE} \Rightarrow \;\frac{x}{y} = \frac{30}{15} = 2. \]
习题
习题1. 在 \( {\Delta ABC} \) 中，点 \( D \) 是 \( {BC} \) 的中点，点 \( E \) 位于 \( {AC} \) 上， \( {AD} \) 与 \( {BE} \) 交于 \( G \) 。若 \( \frac{AC}{CE} = 3 \) ，则 \( \frac{AG}{GD} \) 为多少？
(A) \( \frac{2}{1} \) (B) \( \frac{3}{1} \) (C) \( \frac{3}{1} \) 或 \( \frac{4}{1} \) (D) \( \frac{4}{1} \) (E) \( \frac{5}{1} \)
问题2. 如图所示，若 \( \frac{AB}{BC} = \frac{DF}{FB} = 2 \) ，求 \( \frac{DE}{EC} \) 。
(A) \( \frac{4}{3} \) (B) \( \frac{3}{4} \) (C) \( \frac{7}{5} \) (D) \( \frac{5}{7} \) (E) \( \frac{6}{5} \)
问题3. 在三角形 \( {ABC} \) 中，点 \( D \) 位于线段 \( {AC} \) 上，且 \( {AD} : {DC} = 2 : 1 \) ；点 \( E \) 位于线段 \( {AB} \) 上，且 \( {AE} : {EB} = 2 : 3 \) 。线段 \( {EC} \) 与 \( {DB} \) 相交于点 \( K \) 。求 \( {DK} : {KB} \) ？
(A) \( \frac{3}{7} \) (B) \( \frac{3}{4} \) (C) \( \frac{3}{8} \) (D) \( \frac{2}{9} \) (E) \( \frac{5}{6} \)
问题4. 在 \( {\Delta ABC} \) 中，点 \( D \) 和 \( E \) 分别位于 \( {BC} \) 和 \( {AB} \) 上。若 \( {AD} \) 与 \( {CE} \) 交于 \( G \) ，使得 \( \frac{BD}{CD} = \frac{1}{3} \) 且 \( \frac{AE}{BE} = \frac{1}{2} \) ，则 \( \frac{AG}{DG} \) 为多少？
(A) \( \frac{3}{5} \) (B) \( \frac{3}{4} \) (C) \( \frac{3}{2} \) (D) \( \frac{2}{3} \) (E) \( \frac{5}{3} \)
问题5. 在三角形 \( {ABC} \) 的边 \( {AC} \) 上取点 \( E \) ，使得 \( {AE} \) : \( {EC} = 3 : 4 \) ；在边 \( {BC} \) 上取点 \( D \) ，使得 \( {BD} : {DC} = \) \( 2 : 3 \) 。 \( {AD} \) 与 \( {BE} \) 的交点为 \( F \) ，则 \( \frac{AF}{FD} \times \frac{BF}{FE} \) 为
(A) \( \frac{7}{3} \) (B) \( \frac{14}{9} \) (C) \( \frac{35}{12} \) (D) \( \frac{56}{15} \) (E) \( \frac{3}{1} \)
问题6. 如图所示，在 \( \bigtriangleup {ABC},{AG} = \frac{1}{3}{AB},{BE} = \frac{1}{3}{BC} \) 中， \( {CF} = \frac{1}{3}{CA} \) 。若 \( {AN} : {NL} : {LE} = x : y : z. \) ，求 \( x + y + z \) 的正整数值
(A) 3 (B)4(C)5 (D) 6 (E) 7
问题7. 如图所示， \( D \) 和 \( E \) 是三角形 \( {ABC} \) 的边 \( {BC} \) 上的点，且 \( {BD} : {DE} : {EC} = 1 : 1 : 1 \) 。中线 \( {BF} \) 分别交 \( {AD} \) 和 \( {AE} \) 于 \( G \) 和 \( H \) ，并被分成 \( x, y, z(x > y \) \( > z \) 的长度。求 \( x + y + z \) 的正整数值。
(A) 10 (B) 12 (C) 8 (D) 16 (E) 17
问题8. 在三角形 \( {ABC} \) 中，点 \( D, E \) 、 \( F \) 分别位于 \( {BC},{AC} \) 、 \( {AB} \) 上。若 \( {BD} : {DC} = 1,{AE} : {EC} = 1/3 \) ，且 \( {AF} : {FB} = \) \( 1/2 \) 。线段 \( {EF} \) 在点 \( P \) 处与 \( {AD} \) 相交。求比值 \( {AP} \) : \( {PD} \) 。
(A) \( \frac{2}{3} \) (B) \( \frac{5}{9} \) (C) \( \frac{1}{3} \) (D) \( \frac{2}{5} \) (E) \( \frac{3}{7} \)
问题9. 在三角形 \( {ABC},{ED} \) 中，连接边 \( {AB} \) 上的点 \( E \) 与边 \( {BC} \) 上的点 \( D \) ，形成一条与 \( {AE} : {BE} = 4 : 3 \) 相交的截线，且 \( {BD} : {CD} = 5 : 2.{BG} \) 将 \( {AC} \) 按3:7的比例分割，并与 \( {ED} \) 交于点 \( F \) 。求比值 \( {EF} : {FD} \) 。
(A) \( \frac{35}{9} \) (B) \( \frac{8}{63} \) (C) \( \frac{63}{8} \) (D) \( \frac{9}{35} \) (E) \( \frac{9}{34} \)
问题10. 如图所示的三角形 \( {ABC} \) ，其塞瓦线(Cevian) \( {AD} \) 与截线 \( {EF} \) 交于 \( G \) ，且 \( {AE} : {CE} = 1 : 2,{AF} : {BF} = 5 : 4 \) 与 \( {BD} : {CD} = \) \( 3 : 2 \) 。求 \( {AG} \) 与 \( {DG} \) 的比值？(A) \( \frac{35}{39} \) (B) \( \frac{4}{15} \) (C) \( \frac{25}{38} \) (D) \( \frac{38}{25} \) (E) \( \frac{15}{4} \)
问题11. 在三角形 \( {ABC} \) 的边 \( {AC} \) 上取点 \( E \) ，使得 \( {AE} \) \( : {EC} = 3 : 4 \) ；在边 \( {BC} \) 上取点 \( D \) ，使得 \( {BD} : {DC} = 3 \) :2。 \( {AD} \) 与 \( {BE} \) 的交点为 \( F \) 。已知 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的面积为133，求 \( \bigtriangleup {AEF} \) 的面积。
(A) \( \frac{133}{12} \) (B) \( \frac{133}{19} \) (C) 12 (D) \( \frac{38}{3} \) (E) \( \frac{133}{15} \)
问题12. 在三角形 \( {ABC} \) 的边 \( {AC} \) 上取点 \( E \) ，使得 \( {AE} \) \( : {EC} = 3 : 4 \) ；在边 \( {BC} \) 上取点 \( D \) ，使得 \( {BD} : {DC} = 3 \) :
2。 \( {AD} \) 与 \( {BE} \) 的交点为 \( F \) 。已知 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的面积为133，求四边形CDFE的面积。
(A) \( \frac{133}{2} \) (B) \( \frac{605}{15} \) (C) 41 (D) 42 (E) \( \frac{266}{5} \)
问题13. (AIME) 如右图所示， \( {\Delta ABC} \) 被从顶点引出的直线分割为六个小三角形，这些直线均通过一公共内点。
其中四个小三角形的面积为
这些三角形的面积如图所示。求 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的面积。(A) 315 (B) 314 (C) 316 (D) 320 (E) 322
问题14. (AMC) 三角形的三边长分别为13、14、15。三角形的三条高交于点 \( H \) 。若 \( {AD} \) 是边长为14的边上的高，则 \( {HD} : {HA} \) 的比值为:
14
(A) 3:11 (B) 5:11 (C) \( 1 : 2 \) (D) 2:3 (E) 25:33
问题15. 如图所示，面积为40的 \( \bigtriangleup {ABC} \) 被分割成三个小三角形和一个四边形，其面积
\( x \) 。若 \( \frac{AD}{DC} = \frac{2}{3} \) 且 \( {AE} = {BE} \) ，求 \( x \) 。
(A) 11 (B) 14 (C) 16 (D) 12 (E) 15
问题16. 如图所示， \( \bigtriangleup {ABC} \) 被分割成三个小三角形和一个四边形。若 \( \frac{BD}{DC} = \frac{2}{1},\frac{CE}{EA} = \frac{1}{1} \) ，求 \( \frac{{S}_{\Delta ABF}}{{S}_{\Delta ABC}} \) 。
(A) \( 3/5 \) (B) \( 2/5 \) (C) \( 4/5 \) (D) \( 2/3 \) (E) \( 5/3 \)
问题17. 如右图所示， \( {\Delta ABC} \) 被从顶点出发并经过一
公共内点的直线分割成六个小三角形。其中三个三角形的面积如图所示。求 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的面积。
(A) 30
解答:
问题1. 解答:(D)。
我们按图示标注各线段长度。
设各点的质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C},{m}_{D},{m}_{E} \) 和 \( {m}_{G} \) 。
我们给点 \( C \) 赋予质量2。
\( {m}_{A} \times 2 = {m}_{C} \times 1\; \Rightarrow \;{m}_{A} \times 2 = 2 \times 1 \Rightarrow \;{m}_{A} = 1. \)
以及 \( {m}_{B} \times 1 = {m}_{C} \times 1 \Rightarrow \;{m}_{B} = 2 \) 。
所以 \( {m}_{D} = {m}_{B} + {m}_{C} = 2 + 2 = 4 \)
\( {m}_{A} \times {AG} = {m}_{D} \times {GD}\; \Rightarrow \;\frac{AG}{GD} = \frac{4}{1}. \) 问题2. 解答:(A). 方法一:我们按图中所示为各线段长度做标记。
我们给点 \( A \) 赋予质量1。
\[ {m}_{A} \times 2 = {m}_{C} \times 1\; \Rightarrow \;{m}_{C} = 2\text{and} \]
\[ {m}_{B} = {m}_{A} + {m}_{C} = 1 + 2 = 3\text{.} \]
同样地， \( {m}_{D} \times 2 = {m}_{B} \times 3 \Rightarrow {m}_{D} = \frac{3}{2} \) 。
现在我们来看线段 \( {CD} \) :
\[ {m}_{D} \times {DE} = {m}_{C} \times {EC}\; \Rightarrow \;\frac{DE}{EC} = \frac{2}{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}. \]
注意:若将点 \( A \) 的质量设为2，计算过程中不会出现任何分数。
问题3。解答:(D)。
我们按图示标注各线段的长度。
设各点处的质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C} \) 和 \( {m}_{D} \) ，
分别地。
我们给点 \( A \) 赋予质量3。
\( {m}_{A} \times 2 = {m}_{C} \times 1\; \Rightarrow \;{m}_{C} = 6 \) 和
\[ {m}_{D} = {m}_{A} + {m}_{C} = 3 + 6 = 9\text{.} \]
现在我们确定 \( {m}_{B} \) 。
\[ {m}_{A} \times 2 = {m}_{B} \times 3\; \Rightarrow \;{m}_{B} = 2. \]
最后一步是找到答案: \( \frac{DK}{KB} = \frac{2}{9} \) 。
问题4。解答:(D)。
我们按图示标注各线段的长度。
设各点质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C},{m}_{D},{m}_{E} \) 和 \( {m}_{G} \) 。
我们给点 \( C \) 赋予质量1。
\[ {m}_{C} \times 3 = {m}_{B} \times 1\; \Rightarrow \;{m}_{B} = 3\text{and} \]
\[ {m}_{D} = {m}_{B} + {m}_{C} = 1 + 3 = 4\text{.} \]
现在我们来确定 \( {m}_{A} \) 。
\[ {m}_{A} \times 1 = {m}_{B} \times 2\; \Rightarrow \;{m}_{A} = 3 \times 2 = 6 \]
最后一步是求出答案:
\[ 6 \times {AG} = 4 \times {DG}\; \Rightarrow \;\frac{AG}{DG} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]
问题5. 解答:(C)。
方法1(质点法):
我们按图中所示标记各线段长度。
设各点质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C},{m}_{D},{m}_{E} \) 和 \( {m}_{F} \) 。
我们给点 \( C \) 赋予质量6。我们得到 \( {m}_{A} = 8,{m}_{E} = 8 + 6 = {14} \) 。 \( {m}_{B} = 9,{m}_{D} = 9 + 6 = {15} \) 。因此 \( \frac{AF}{FD} = \frac{15}{8} \) 且 \( \frac{BF}{FE} = \frac{14}{9} \) 。答案是 \( \frac{AF}{FD} \times \frac{BF}{FE} = \frac{15}{8} \times \frac{14}{9} = \frac{35}{12} \) 。
方法二:
作 \( {EG}//{BC} \) ， \( {EG} \) 与 \( {AD} \) 交于 \( G \) 。
\( \frac{GE}{BD} = \frac{{GE}/{DC}}{{BD}/{DC}} = \frac{{AE}/{AC}}{{BD}/{DC}} = \frac{3/7}{2/3} = \frac{9}{14}. \)
因此 \( \frac{FG}{DF} = \frac{FE}{BF} = \frac{GE}{BD} = \frac{9}{14} \) 。
我们还有 \( \frac{DG}{DF} = \frac{23}{14},\frac{AG}{AD} = \frac{3}{7} \) ，所以 \( \frac{GD}{AD} = \frac{4}{7} \Rightarrow \) \( {GD} = \frac{4}{7}{AD}. \)
于是 \( \frac{AD}{DF} = \frac{\frac{7}{4}{GD}}{DF} = \frac{7}{4} \cdot \frac{23}{14} = \frac{23}{8} \) 。
我们还知道 \( \frac{AE}{DF} = \frac{15}{8} \) 。
因此 \( \frac{AF}{FD} \times \frac{BF}{FE} = \frac{15}{8} \times \frac{14}{9} = \frac{35}{12} \) 。
问题6。解答:(E)。
我们将原图拆分为两个图形。
第一个图形通过移除线段 \( {BF} \) 得到。我们按所示标注各线段长度。
我们给点 \( B \) 赋予质量2。
\[ {m}_{B} \times 1 = {m}_{C} \times 2\; \Rightarrow \;{m}_{C} = 1\text{.} \]
\[ {m}_{E} = {m}_{B} + {m}_{C} = 2 + 1 = 3\text{.} \]
现在我们来看线段 \( {AB} \) :
\[ {m}_{A} \times 1 = {m}_{B} \times 3 \Rightarrow {m}_{A} = 4\text{.} \]
现在我们来看线段 \( {AE} \) :
\[ {m}_{A} \times {AN} = {m}_{E} \times {EN} \Rightarrow \frac{AN}{EN} = \frac{3}{4}\; \Rightarrow \;\frac{AN}{AE} = \frac{3}{7}. \]
第二个图形通过移除线段 \( {CG} \) 得到。我们按所示标注各线段长度。
我们给点 \( C \) 赋予质量2。
\[ {m}_{B} \times 1 = {m}_{C} \times 2\; \Rightarrow \;{m}_{B} = 4. \]
\[ {m}_{E} = {m}_{B} + {m}_{C} = 2 + 4 = 6\text{.} \]
现在我们来看线段 \( {AC} \) :
\[ {m}_{A} \times 2 = {m}_{C} \times 1 \Rightarrow {m}_{A} = 1\text{.} \]
现在我们来看线段 \( {AE} : {m}_{E} \times {LE} = {m}_{A} \times {AL} \Rightarrow \frac{LE}{AL} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{LE}{AE} = \frac{1}{7} \) 。
\( \frac{NL}{AE} = 1 - \frac{AN}{AE} - \frac{LE}{AE} = 1 - \frac{3}{7} - \frac{1}{7} = \frac{3}{7} \) 。AN: \( {NL} : {LE} = \frac{3}{7} : \frac{3}{7} : \frac{1}{7} = 3 : 3 : 1. \)
\[ x + y + z = 3 + 3 + 1 = 7. \]
问题7。解答:(A)。
我们将原图形拆分为两个图形。
第一个图形通过移除线段 \( {AE} \) 得到。
我们知道 \( H \) 是 \( A, B \) 和 \( C \) 的质心。
因此 \( E \) 是 \( B \) 和 \( C \) 的质心。
我们给点 \( C \) 赋予质量1。
\( {m}_{B} \times 1 = {m}_{C} \times 2\; \Rightarrow \;{m}_{B} = 2 \) .
\( F \) 是 \( A \) 和 \( C \) 的质心。
\( {m}_{A} \times 1 = {m}_{C} \times 1 \Rightarrow \;{m}_{A} = 1. \)
于是 \( {m}_{F} = {m}_{A} + {m}_{C} = 1 + 1 = 2 \) 。
\( \frac{BG}{GF} = \frac{1}{1}\; \Rightarrow \;\frac{BG}{BF} = \frac{1}{2}\; \Rightarrow \;\frac{x}{x + y + z} = \frac{1}{2} \) (1)
第二个图形通过移除线段 \( {AD} \) 得到。
我们知道 \( H \) 是 \( A, B \) 和 \( C \) 的质心。
因此 \( E \) 是 \( B \) 和 \( C \) 的质心，且 \( F \) 是 \( A \) 和 \( C \) 的质心。
我们给点 \( C \) 赋予质量2。
\( {m}_{B} \times 2 = {m}_{C} \times 1\; \Rightarrow \;{m}_{B} = 1. \)
\( {m}_{A} \times 1 = {m}_{C} \times 1 \Rightarrow \;{m}_{A} = 2. \)
于是 \( {m}_{F} = {m}_{A} + {m}_{C} = 2 + 2 = 4 \) 。
\( \frac{FH}{HB} = \frac{1}{4}\; \Rightarrow \;\frac{FH}{BF} = \frac{1}{5}\; \Rightarrow \;\frac{z}{x + y + z} = \frac{1}{5} \) (2)因此我们知道 \( \frac{y}{x + y + z} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10} \) 。
\[ x : y : z = 5 : 3 : 2\text{.} \]
\[ x + y + z = 5 + 3 + 2 = {10}. \]
问题8。解答:(D)。
在本题中，我们需要处理横截线 \( {EF} \) 。一种称为“质量分割(splitting mass)”的技巧将有所帮助。
设各点的质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C} \) 和 \( {m}_{D} \) 。
我们给点 \( B \) 赋予质量1。
\( {m}_{C} \times 1 = {m}_{B} \times 1\; \Rightarrow \;{m}_{C} = 1 \) 和 \( {m}_{D} = {m}_{B} + {m}_{C} = 1 + 1 = 2. \) 现在通过质量分割来确定 \( {m}_{A} \) 。
我们观察边 \( {AB} \) 。 \( {AB} \) 的质心位于 \( F \) 上。
\[ {m}_{{A}_{AB}} \times 1 = {m}_{B} \times 2\; \Rightarrow \;{m}_{{A}_{AB}} = 2 \]
我们观察边 \( {AC} \) 。 \( {AC} \) 的质心位于 \( E \) 上。
\[ {m}_{{A}_{AC}} \times 1 = {m}_{C} \times 3\; \Rightarrow \;{m}_{{A}_{AC}} = 3\text{.} \]
因此 \( {m}_{A} = {m}_{{A}_{AB}} + {m}_{{A}_{AC}} = 2 + 5 = 5 \)
最后一步是求出答案:
\( {m}_{A} \times {AP} = {m}_{D} \times {PD} \Rightarrow \;\frac{AP}{PD} = \frac{2}{5}. \)
问题9。解答:(D)。
(1) 我们按图示标记各线段的长度。设各点的质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C} \) 和 \( {m}_{D} \) 。我们需要求 \( {m}_{E} \) 和 \( {m}_{D} \) 。
(2) 我们给点 \( A \) 赋予质量105。
我们观察边 \( {BC} \) 。
\[ {m}_{C} \times 7 = {m}_{A} \times 3\; \Rightarrow \;{m}_{C} = {45}\text{.} \]
现在通过质量分割来确定 \( {m}_{B} \) 。
我们观察边 \( {AB} \) 。 \( {AB} \) 的质心位于 \( E \) 上。
\[ {m}_{E} = {m}_{A} + {m}_{B} = {105} + {140} = {245}. \]
我们观察边 \( {BC} \) 。 \( {BC} \) 的质心位于 \( D \) 。
\[ {m}_{{B}_{BC}} \times 5 = {m}_{C} \times 2\; \Rightarrow \;{m}_{{B}_{BC}} = {18}\text{.} \]
因此 \( {m}_{B} = {m}_{{B}_{AB}} + {m}_{{B}_{BC}} = {140} + {18} = {158} \)
\[ {m}_{D} = {m}_{C} + {m}_{B} = {45} + {18} = {63} \]
最后一步是求出答案:
\[ {m}_{E} \times {EF} = {m}_{D} \times {FD} \Rightarrow \;\frac{EF}{FD} = \frac{63}{245} = \frac{9}{35}. \]
问题10。解答:(C)。
(1) 我们按图中所示给各线段长度标号。
设各点质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C} \) 和 \( {m}_{D} \) 。我们需要求 \( {m}_{A} \) 和 \( {m}_{D} \) 。
(2) 我们给点 \( B \) 赋予质量10。
现在我们通过拆分质量来确定 \( {m}_{A} \) 。
我们观察边 \( {AB} \) 。
\[ {m}_{B} \times 4 = {m}_{{A}_{AB}} \times 5\; \Rightarrow \;{m}_{{A}_{AB}} = 8\text{.} \]
我们观察边 \( {BC}.{m}_{B} \times 3 = {m}_{C} \times 2 \)
\[ {m}_{C} = {15}\text{.} \]
\[ {m}_{D} = {m}_{B} + {m}_{C} = {10} + {15} = {25}\text{.} \]
我们观察边 \( {AC}.{m}_{{A}_{AC}} \times 1 = {m}_{C} \times 2\; \Rightarrow \)
\[ {m}_{{A}_{AC}} = {30} \]
\[ {m}_{A} = {m}_{{A}_{AB}} + {m}_{{A}_{AC}} = 8 + {30} = {38}. \]
我们观察边 \( {AD} \) 以求出答案:
\[ {m}_{A} \times {AG} = {m}_{D} \times {DG} \Rightarrow \;\frac{AG}{DG} = \frac{{m}_{D}}{{m}_{A}} = \frac{25}{38}. \]
问题11。解答:(D)。
我们按图中所示给各线段长度标号。
设各点质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B} \) ，
\( {m}_{C} \) 和 \( {m}_{E} \) 。
我们给点 \( C \) 赋予质量6。
我们得到 \( {m}_{A} = 8 \) 。
\( {m}_{B} = 4,\;{m}_{E} = 8 + 6 = {14}. \)
因此 \( \frac{{S}_{\Delta AEF}}{{S}_{\Delta ABE}} = \frac{EF}{FB} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \) 。
\[ {S}_{\Delta AEF} = \frac{2}{7}{S}_{\Delta ABF} = \frac{2}{7}\left( {{S}_{\Delta ABE} - {S}_{\Delta AEF}}\right) = \frac{2}{7}\left( {\frac{3}{7}{S}_{\Delta ABC} - {S}_{\Delta ABF}}\right) = \frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times {133} - \frac{6}{49}{S}_{\Delta AEF} \]
\( \Rightarrow \)
\[ {S}_{\Delta AEF} + \frac{2}{7}{S}_{\Delta AEF} = \frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times {133} \Rightarrow \frac{9}{7}{S}_{\Delta AEF} = \frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times {133}\; \Rightarrow \;{S}_{\Delta AEF} = \frac{38}{3}. \]
问题12。解答:(B)。
我们按图中所示标记各线段的长度。
设各点的质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B} \) 、 \( {m}_{C} \) 、
以及 \( {m}_{E} \) 。
我们给点 \( C \) 赋予质量6。
我们得到 \( {m}_{A} = 8 \) 。
\( {m}_{B} = 4,{m}_{E} = 8 + 6 = {14} \) .
因此 \( \frac{{S}_{\Delta AEF}}{{S}_{\Delta ABE}} = \frac{EF}{FB} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \) 。
\[ {S}_{\Delta AEF} = \frac{2}{7}{S}_{\Delta ABF} = \frac{2}{7}\left( {{S}_{\Delta ABE} - {S}_{\Delta AEF}}\right) = \frac{2}{7}\left( {\frac{3}{7}{S}_{\Delta ABC} - {S}_{\Delta ABF}}\right) = \frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times {133} - \frac{6}{49}{S}_{\Delta AEF} \]
\[ \Rightarrow {S}_{\Delta AEF} + \frac{2}{7}{S}_{\Delta AEF} = \frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times {133} \Rightarrow \frac{9}{7}{S}_{\Delta AEF} = \frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times {133} \Rightarrow {S}_{\Delta AEF} = \frac{38}{3}\text{.} \]
\[ {S}_{CDFE} = {S}_{\Delta ACD} - {S}_{\Delta AEF} = \frac{2}{5}{S}_{\Delta ABC} - \frac{38}{3} = \frac{2}{5} \times {133} - \frac{38}{3} = \frac{608}{15}. \]
问题13。解答:(A)。
我们采用不同于官方解答的另一种方法来解决此题。
\[ \frac{{S}_{\Delta BPD}}{{S}_{\Delta CPD}} = \frac{40}{30} = \frac{BD}{DC} = \frac{4}{3}. \]
\[ \frac{{S}_{\Delta BPC}}{{S}_{\Delta EPC}} = \frac{{40} + {30}}{35} = \frac{BP}{PE} = \frac{2}{1}. \]
我们按图中所示标记各线段的长度。
设各点的质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C} \) 和 \( {m}_{E} \) 。
我们给点 \( C \) 赋予质量4。
我们观察线段 \( {BE} \) 。
\[ {m}_{B} \times 2 = {m}_{E} \times 1\; \Rightarrow \;{m}_{E} = 6. \]
现在我们来看线段 \( {AC} \) 。
\[ {m}_{A} = {m}_{E} - {m}_{C} = 6 - 4 = 2 \]
\[ \frac{AE}{CE} = \frac{4}{2} = 2\text{. So}\frac{AC}{CE} = 3\text{.} \]
问题14。解答:B。
我们采用不同于官方解答的另一种方法来解决此题。
对三角形 \( {ABE} \) 和 \( {BCE} \) 应用勾股定理:
\[ B{E}^{2} = {14}^{2} - {q}^{2} = {13}^{2} - {p}^{2} \Rightarrow {q}^{2} - {p}^{2} = {27}\text{.} \]
14
我们知道 \( q + p = {15} \) 。因此 \( p = \frac{33}{5} \) 且 \( q = \frac{42}{5} \) 。
\[ \text{So}\frac{p}{q} = \frac{11}{14}\text{.} \]
对三角形 \( {ABD} \) 和 \( {ACD} \) 应用勾股定理:
\[ A{D}^{2} = {13}^{2} - {r}^{2} = {15}^{2} - {s}^{2} \Rightarrow {s}^{2} - {r}^{2} = {56}\text{.} \]
我们知道 \( s + r = {14} \) 。因此 \( r = 5 \) 且 \( s = 9 \cdot \frac{r}{s} = \frac{5}{9} \) 。现在我们准备使用质点法。我们按图所示标记各线段长度。
设各点的质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C} \) 和 \( {m}_{D} \) 。我们需要求 \( {m}_{B} \) 和 \( {m}_{E} \) 。
我们给点 \( C \) 赋予质量55。
我们观察边 \( {AC} \) 。 \( {AC} \) 的质心位于 \( E \) 。
\[ {m}_{C} \times {14} = {m}_{A} \times {11}\; \Rightarrow \;{m}_{A} = {70}\text{.} \]
现在我们确定 \( {m}_{B} \) 。
我们观察边 \( {BC} \) 。 \( {BC} \) 的质心位于 \( D \) 。
\[ {m}_{C} \times 9 = {m}_{B} \times 5\; \Rightarrow \;{m}_{B} = {99}. \]
\[ {m}_{D} = {m}_{B} + {m}_{C} = {99} + {55} = {154}\text{.} \]
最后一步是求出答案:
\( {m}_{A} \times {HA} = {m}_{D} \times {HD} \Rightarrow \;\frac{HD}{HA} = \frac{{m}_{A}}{{m}_{D}} = \frac{70}{154} = \frac{5}{11}. \)
问题15。解答:(A)。
我们按图所示标记各线段长度。
我们给点 \( A \) 赋予质量3。
\[ {m}_{D} = {m}_{A} + {m}_{C} = 3 + 2 = 5\text{.} \]
由于 \( {AE} = {BE},{m}_{B} = 2 \) 。
现在我们来看线段 \( {BD} \) :
\( {m}_{B} \times {BF} = {m}_{D} \times {FD} \Rightarrow \frac{FD}{BF} = \frac{3}{5}\; \Rightarrow \;\frac{FD}{BD} = \frac{3}{8}. \)
\( \frac{{S}_{\Delta CDF}}{{S}_{\Delta CDB}} = \frac{FD}{BD} = \frac{3}{8} \Rightarrow {S}_{\Delta CDF} = \frac{3}{8}{S}_{\Delta CDB} = \frac{3}{8} \times \frac{3}{5}{S}_{\Delta ABC} = 9. \)
\[ {S}_{\Delta ACE} = \frac{1}{2}{S}_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times {40} = {20}. \]
\[ \Rightarrow \;x = {S}_{\bigtriangleup {ACE}} - {S}_{\bigtriangleup {CDF}} = {20} - 9 = {11}\text{.} \]
问题16。解答:(B)。
设 \( \frac{BD}{DC} = \frac{m}{1},\frac{CE}{EA} = \frac{n}{1} \) 。
我们按图中所示标记各线段的长度。连接 \( {CF} \) 并将其延长，与 \( {AB} \) 相交于 \( G \) 。
我们给点 \( B \) 赋予质量1。
\[ {m}_{B} \times m = {m}_{C} \times 1\; \Rightarrow \;{m}_{C} = m. \]
现在我们来看线段 \( {AC} \) 。
\[ {m}_{C} \times n = {m}_{A} \times 1\; \Rightarrow \;{m}_{A} = {mn}\text{(} \]
现在我们来看线段 \( {AB} \) 。由于 \( F \) 是 \( {ABC}, G \) 的质心， \( A \) 和 \( B \) 的质心是 \( {ABC}, G \) ，因此 \( {m}_{G} = {m}_{A} + {m}_{B} = {mn} + 1 \) 。
\[ \frac{{S}_{\bigtriangleup {ABF}}}{{S}_{\bigtriangleup {ABC}}} = \frac{FG}{CG} = \frac{m}{{mn} + 1 + m} = \frac{2}{2 \times 1 + 1 + 2} = \frac{2}{5}. \]
问题17。解答:(A)。
\[ \frac{{S}_{\Delta BAO}}{{S}_{\Delta MAO}} = \frac{2}{3} = \frac{BO}{OM}. \]
\[ \frac{{S}_{\Delta BAO}}{{S}_{\Delta BNO}} = \frac{2}{1} = \frac{AO}{ON}. \]
我们按图中所示标记各线段的长度。
设各点的质量分别为 \( {m}_{A},{m}_{B},{m}_{C} \) ，
\( {m}_{M} \) 和 \( {m}_{O} \) 。
我们给点 \( B \) 赋予质量9。
我们来看线段 \( {BM} \) 。
\[ {m}_{B} \times 2 = {m}_{M} \times 3\; \Rightarrow \;{m}_{M} = 6. \]
\[ {m}_{O} = {m}_{B} + {m}_{M} = 9 + 6 = {15}\text{.} \]
现在我们来看线段 \( {AN} \) 。
\( {m}_{A} \times 2 = {m}_{N} \times 1 \) 与 \( \Rightarrow \;{m}_{A} + {m}_{N} = {15} \) 。
所以 \( {m}_{M} = 5 \) 和 \( {m}_{C} = 6 - 5 = 1 \)
\[ \frac{AM}{CM} = \frac{5}{1}\text{. So}\frac{AC}{AM} = \frac{6}{1}\text{.} \]
\[ \frac{{S}_{\Delta ABC}}{{S}_{\Delta BAM}} = \frac{AC}{AM} = \frac{6}{1} \]
\[ \Rightarrow \;{S}_{\bigtriangleup {ABC}} = 6{S}_{\bigtriangleup {BAM}} = 6\left( {2 + 3}\right) = {30}\text{.} \]
基础知识
(1) 分组规则
我们可以用6!种方式排列数字1,2,3,4,5,6。
我们可以用 \( \frac{6!}{2!4!} = {15} \) 种方式排列1,1,2,2,2,2。
我们可以用 \( \frac{6!}{2!2!2!} = {90} \) 种方式排列1,1,2,2,3,3。
我们可以用 \( \frac{6!}{1!5!} = 6 \) 种方式排列1,2,2,2,2。
我们可以用6!种方式排列字母 \( A, B, C, D, E, F \) 。
我们可以用 \( \frac{6!}{2!4!} = {15} \) 种方式排列 \( A, A, B, B, B, B \) 。
我们可以用 \( \frac{6!}{2!2!2!} = {90} \) 种方式排列 \( A, A, B, B, C, C \) 。
我们可以用 \( \frac{6!}{1!5!} = 6 \) 种方式排列 \( A, B, B, B, B, B \) 。
一般地，设不同对象的数量为 \( n \) 。将 \( n \) 分成 \( r \) 组 \( {A}_{1},{A}_{2} \) 、 \( \ldots ,{A}_{r} \) ，使得第 \( {A}_{1},{n}_{2} \) 组有 \( {n}_{1} \) 个对象，第 \( {A}_{2},\ldots ,{n}_{r} \) 组有 \( {A}_{r} \) 个对象，其中 \( {n}_{1} + {n}_{2} + \cdots + {n}_{r} = n \) 。完成此操作的方法数为
\[ \text{so is}N = \frac{n!}{{n}_{1}!{n}_{2}!\cdots {n}_{r}!} \tag{21.1} \]
(2) \( n \) 个不同的球放入 \( m \) 个有标签的盒子
将 \( n \) 个不同的球放入 \( m \) 个有标签的盒子，每个盒子中的球数不限。完成此操作的方法数为 \( N = {m}^{n} \) (21.2)
(3) 正整数解